ידע

כיצד לגבש פולינום של התואר השני (משוואה לתואר השני)

Posted on
מְחַבֵּר: Monica Porter
תאריך הבריאה: 17 מרץ 2021
תאריך עדכון: 1 יולי 2024
Anonim
כיצד לגבש פולינום של התואר השני (משוואה לתואר השני) - ידע
כיצד לגבש פולינום של התואר השני (משוואה לתואר השני) - ידע

תוֹכֶן

במאמר זה: המשך על ידי ניסוי וטעייה המשך על ידי פירוק "המשחק המשולש" ההבדל בין שני ריבועים השתמש בנוסחה הריבוע שימוש במחשבון

פולינום מורכב ממשתנה (x) המורם לכוח מסוים הנקרא דרגת הפולינום, וכמה מונחים אחרים של מעלות נמוכות ו / או מכמה קבועים אחרים. לפקטור פולינום של התואר השני (המכונה גם "משוואה ריבועית") פירושו לצמצם את הביטוי הראשוני למוצר של ביטויים בדרגות קטנות יותר שאפשר להכפיל בזה אחר זה. ידע זה הוא חלק ממסלול הלימודים בתיכון ועוד, לכן מאמר זה עשוי להיות קשה להבנה אם עדיין אין לכם את רמת המתמטיקה הנדרשת.


בשלבים

להתחיל



  1. כתוב את הביטוי שלך. הצורה הסטנדרטית של משוואת תואר שני היא:

    גרזן + bx + c = 0
    התחל בסידור תנאי המשוואה שלך לפי סדר הכוחות, מהגדול ביותר לקטן ביותר, כמו בצורה הסטנדרטית. קח למשל:

    6 + 6x + 13x = 0
    נסדר מחדש את הביטוי הזה כדי להקל על העבודה על ידי פשוט העברת התנאים:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. מצא את הטופס המובנה באמצעות אחת מהשיטות שהוסבר להלן. הגורם ייתן שני ביטויים קצרים יותר שיעניקו את הפולינום הראשוני אם נכפיל אותם בזה אחר זה:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    בדוגמה זו, (2x +3) ו- (3x + 2) הם גורמים של הביטוי הראשוני, 6x + 13x + 6.




  3. בדוק את העבודה שלך! הכפל את הגורמים שזיהית. לאחר מכן שלב את המונחים הדומים ותסיים. התחל עם:

    (2x + 3) (3x + 2)
    בואו נתחיל לבחון את הביטוי הזה, ונכפיל את המונחים של שני הביטויים כדי לקבל:

    6x + 4x + 9x + 6
    משם, אנו יכולים להוסיף 4x ו- 9x מכיוון שהם מונחים באותה דרגה. אנו יודעים אם כן שהגורמים שלנו נכונים מכיוון שאנו נופלים היטב על ביטוי העזיבה:

    6x + 13x + 6.

שיטה 1 המשך לפי ניסוי וטעייה

אם אתה מתמודד עם פולינום פשוט למדי, אתה אמור להיות מסוגל למצוא את הפירוק שלו כמוצר גורם במבט חטוף. לדוגמה, מתמטיקאים רבים מסוגלים לראות את הביטוי הזה 4x + 4x + 1 נותן את הגורמים (2x + 1) ו- (2x + 1) לפי הרגל ועם ניסיון (ברור, זה לא כל כך פשוט במקרה של פולינומים מורכבים). לדוגמה זו, בואו ונבחן ביטוי פחות נפוץ:

3x + 2x - 8

.




  1. ערכו רשימה של גורמים במקדם יש ו ג. שימוש בביטוי הטופס גרזן + bx + c = 0, לזהות את המקדמים יש ו ג ורשום את הגורמים המתאימים. עבור: 3x + 2x - 8, זה נותן:

    a = 3 ויש לו רק זוג גורמים אחד: 1 * 3
    c = -8 וארבעה זוגות של גורמים: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ו- -1 * 8.



  2. כתוב על הנייר שלך שני זוגות של סוגריים עם שטח לכתיבה בתוכם. תזין את הקבועים לכל ביטוי במרחב המסופק:

    (x) (x).



  3. לפני ה- X, כתוב זוג גורמים אפשריים למקדם יש. עבור המקדם יש בדוגמה שלנו, 3x, יש רק אפשרות אחת:

    (3x) (1x).



  4. לאחר מכן מלא את שני השטחים הריקים שנותרו עם זוג גורמים למקדם ג. קחו לדוגמא 8 ו- 1. רשמו אותם:

    (3x8) (X1).



  5. החלט עכשיו את השלט (יותר או פחות) למקם בין ה- x למספר שהצבת אחריו. על פי הסימן של הביטוי המקורי, ניתן למצוא מה אמור להיות הסימנים של הקבועים. שיחה h ו k קבוע הגורמים שלנו:

    אם גרזן + bx + c אז (x + h) (x + k)
    אם גרזן - bx - c או גרזן + bx - c אז (x - h) (x + k)
    אם גרזן - bx + c אז (x - h) (x - k)
    בדוגמה שלנו, 3x + 2x - 8, יש למקם את השלטים באופן הבא: (x - h) (x + k), אשר נותן לנו את שני הגורמים הבאים:

    (3x + 8) ו- (x - 1).



  6. בדוק את הטופס המעובד שלך על ידי פיתוח מחדש. מבחן מהיר ראשון הוא לבדוק אם לטווח האמצעי יש את הערך הנכון. אם x אינו טוב, יתכן שבחרת בצמד הגורמים הלא נכון עבור המקדם ג. בואו לבדוק את התוצאות שלנו:

    (3x + 8) (x - 1)
    על ידי ביצוע כפל אנו מקבלים:

    3x - 3x + 8x - 8
    הוספת המונחים הדומים (-3x) ו- (8x) כדי לפשט את הביטוי הזה, אנו משיגים:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    אנו יודעים שככל הנראה זיהינו את הגורמים הלא נכונים:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. במידת הצורך, החלף את בחירת הגורמים שלך. בדוגמה שלנו, בואו ננסה 2 ו -4 במקום 1 ו- 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    עכשיו המקדם שלנו ג הוא -8, אך הכפלים (3x * -4) ו- (2 * x) נותנים -12x ו- 2x, אשר בנוסף לא תמיד נותנים את הערך ההתחלתי של ב, זה + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. במידת הצורך, הפוך את ההזמנה. אנו הופכים בדוגמה שלנו את המקום של 2 ו -4:

    (3x + 4) (x - 2)
    עכשיו המקדם ג זה תמיד טוב, אבל מקדמי המונחים ב- x שווים זמן זה -6X ו- 4x. לאחר הוספה זה נותן:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x אנו קרובים מאוד לערך ההתחלתי של 2x שאנו מבקשים למצוא, אך השלט אינו טוב.



  9. בדוק שוב את השלטים במידת הצורך. אנו נשמור כעת על אותה סדר, אך נחליף את הסימנים:

    (3x - 4) (x + 2)
    המקדם שלפני ג הוא תמיד טוב והמונחים ב- x שווים כעת (6x) ו- (-4x). מאז:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x אז אנחנו מקבלים את ה- 2x שהיו לנו במקור. אז כנראה שמצאנו את הגורמים הנכונים.

שיטה 2 המשך על ידי פירוק

שיטה זו תאפשר לנו לזהות את כל הגורמים האפשריים להשגת המקדמים יש ו ג ולהשתמש בהם כדי לזהות אילו גורמים הם הנכונים. אם המספרים גדולים מאוד או ששיטות הניסיון והשגיאה האחרות נראות ארוכות מדי, תוכלו להשתמש בשיטה זו. קח את הדוגמא הבאה:

6x + 13x + 6

.



  1. הכפל את המקדם יש על ידי המקדם ג. בדוגמה שלנו, יש שווה ל 6 ו ג שווה גם ל 6.

    6 * 6 = 36.



  2. מצא את המקדם ב על ידי פקטורציה ואז בדיקת הגורמים שהושגו. אנו מחפשים שני מספרים שהם גורמים למוצר יש * ג שזיהינו וסכומם שווה את ערך המקדם "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. הציגו את שני המספרים שרק הגעתם למשוואה שלכם; מקם אותם לפני ה- x, כך שהסכום שלהם שווה למקדם ב. בוא ניקח את המכתבים k ו h לייצג את שני המספרים שהושגו, 4 ו -9:

    גרזן + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. הגדר את הפולינומה שלך על ידי קיבוץ. ארגן את המשוואה כדי למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר של שני המונחים הראשונים ואת הגורם המשותף הגדול ביותר של שני המונחים האחרונים. לאחר מכן עליך לקבל סכום של שתי צורות מעשיות זהות. סיכמו את שני המקדמים זה בזה והכניסו אותם לסוגריים מול צורתם המדוברת; ואז אתה מקבל את שני הגורמים שלך:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

שיטה 3 "המשחק המשולש"

שיטה זו דומה מאוד לשיטה הקודמת. זה מורכב מבחינת הגורמים האפשריים לתוצרי המקדמים יש ו גואז השתמש בהם כדי למצוא את הערך של ב. קח לדוגמא את המשוואה הבאה:

8x + 10x + 2



  1. הכפל את המקדם יש על ידי המקדם ג. בדומה לשיטת הפירוק, הדבר יעזור לנו לזהות מועמדים פוטנציאליים למקדם ב. בדוגמה שלנו, יש שווה ל 8 ו ג שווה 2.

    8 * 2 = 16.



  2. מצא את שני המספרים שהמוצר שלהם הוא המספר שנמצא בדיוק קודם (16) וסכומם נותן את המקדם "b". שלב זה זהה לזה של שיטת הפירוק - כלומר אנו בודקים ודוחים מועמדים לקבועים. תוצר המקדמים יש ו ג שווה ל 16 והמקדם ג שווה ל 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. קח את שני המספרים האלה והחליף אותם בנוסחה "משחק משולש". קח את שני המספרים מהשלב הקודם - בוא נקרא להם h ו k - והציג אותם בביטוי הבא:

    ((גרזן + ח) (גרזן + k)) / א

    לאחר מכן אנו מקבלים:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. מצא איזה מבין הביטויים ההשערטיים במונה ניתן לחלוקה במקדם יש. בדוגמה זו אנו בודקים אם ניתן לחלק את (8x + 8) או (8x + 2) ב- 8. (8x + 8) ניתן לחלק את 8, אז נחלק את הביטוי הזה על ידי יש ולהשאיר את הביטוי האחר כמו שהוא.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    הביטוי שאנחנו שומרים כאן הוא זה שנשאר אחרי החלוקה לפי המקדם יש : (x + 1).



  5. מצא - אם יש - גורם שכיח גדול יותר בשתי הסוגריים. בדוגמה שלנו, לביטוי השני יש גורם משותף גדול יותר של 2, שכן 8x + 2 = 2 (4x + 1). שלב תשובה זו לביטוי שמצאת בשלב הקודם. כך מצאת את שני הגורמים לפולינום שלך.

    2 (x + 1) (4x + 1).

שיטה 4 הפרש של שני ריבועים

ניתן לזהות מקדמים מסוימים של הפולינומים כ"ריבועים ", כלומר כתוצרי הכפל של שני מספרים. על ידי זיהוי ריבועים אלה, אתה יכול לחשב כמה פולינומים הרבה יותר מהר. קח למשל את המשוואה:

27x - 12 = 0



  1. התחל על ידי הפיכת הכל לגורם משותף גדול יותר אם זה אפשרי. בדוגמה שלנו, אנו רואים 27 ו -12 ששניהם מתחלקים ב -3, כך שנוכל "לפרוץ" את הביטוי הראשוני באופן הבא:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. זהה אם המקדמים של המשוואה שלך הם מספרים בריבוע. כדי להשתמש בשיטה זו, עליכם להיות מסוגלים למצוא שורשים מרובעים עבור המקדמים שלכם (שימו לב שאנחנו לא מחשיבים סימנים שליליים - מכיוון שאנחנו מתמודדים עם ריבועים, הם עשויים להיות תוצר של שני מספרים חיוביים או שלילי)

    9x = 3x * 3x ו- 4 = 2 * 2.



  3. בעזרת השורשים המרובעים שמצאת, כתוב את הגורמים שלך. קח את הערכים של יש ו ג נמצא בעבר - יש = 9 ו ג = 4 - לפני שמצאים את השורש המרובע שלהם - √יש = 3 ו- √ג = 2. אלה יהיו מקדמי הביטויים המאושרים שלנו:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

שיטה 5 שימוש בנוסחה ריבועית

אם כל השיטות שלעיל נכשלו ואתה לא מצליח למצוא את הגורמים הנכונים למשוואה שלך, השתמש בנוסחה הריבועית. קח את הדוגמא הבאה:

x + 4x + 1 = 0



  1. קח את ערכי המקדמים "a", "b" ו- "c" והחליף אותם בנוסחה הריבועית הבאה:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    לאחר מכן אנו מקבלים את הביטוי:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. פתרו את המשוואה כדי למצוא x. כפי שתוכלו לראות לעיל, עליכם לקבל שני ערכים של x:


    x = -2 + √ (3) או x = -2 - √ (3).



  3. השתמש בערך x כדי למצוא את הגורמים. הזן את הערכים של x שהתקבלו בעבר כקבועים של שני הביטויים הפולינומיים. אלה יהיו הגורמים שלך. שיחה h ו k את הערכים של x, וכתבו את שתי הצורות המפעלות:

    (x - h) (x - k)
    במקרה זה, התוצאה הסופית היא:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

שיטה 6 באמצעות מחשבון

אם מותר לך להשתמש במחשבון גרפים, שים לב שזה מאוד יקל על המשימה שלך, במיוחד במהלך בחינות. הוראות אלה תקפות רק למחשבים גרפיים של המותג Texas Instrument. קח לדוגמא את המשוואה הבאה:

y = x - x - 2



  1. הזן את המשוואה שלך במחשבון. יהיה עליכם להשתמש ב"משוואת הרזולוציה ", כלומר במסך.



  2. ערוך ייצוג גרפי של המשוואה שלך במחשבון. לאחר כניסה למשוואה, לחצו - אז עליכם לראות את הייצוג הגרפי של העקומה מופיע (ליתר דיוק, תקבלו "קשת" מכיוון שאתם עובדים על פולינומים).



  3. מצא את נקודות ההצטלבות של הקשת עם ציר ה- x (x). מכיוון שמשוואות פולינום נכתבות באופן מסורתי בצורה: ax + bx + c = 0, אלה שני הערכים של x שעבורם הביטוי שווה לאפס:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • אם אינך יכול לקרוא את הערכים היכן שהעקומה שלך חוצה את ציר ה- x, לחץ על. לחץ על או בחר "אפס". הזז את הסמן משמאל לאחת הצמתים ולחץ על. ואז הזז את הסמן מימין לצומת זה ולחץ שוב. לאחר מכן, הזז את הסמן קרוב ככל האפשר לצומת ולחץ שוב. המחשבון ימצא את הערך של x. עשה את אותו הדבר בהמשך לצומת האחר.



  4. לבסוף, הכניסו את ערכי ה- x שהתקבלו בשלב הקודם לביטוי של שני גורמים. אם נתקשר h ו k שני הערכים של x, לאחר מכן נשתמש בביטוי הבא:

    (x - h) (x - k) = 0
    וכך נקבל את שני הגורמים הבאים:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • עיפרון
  • נייר
  • משוואה לתואר שני (או משוואה ריבועית)
  • מחשבון גרף (לא חובה)